Question

5．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P（$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$）在直线l：ρcosθ+2ρcosθ+a=0（a∈R）上．
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程．
（Ⅱ）若点A在直线l上，点B在曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\frac{1}{4}{t}^{2}}\end{array}\right.$（t为参数）上，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）点P（$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$）在直线l：ρcosθ+2ρcosθ+a=0（a∈R）上，可得$\sqrt{2}$$（cos\frac{7π}{4}+2sin\frac{7π}{4}）$+a=0，解得a．再把极坐标化为直角坐标方程即可得出．
（Ⅱ）由题知，对于某点$B（x，\frac{1}{4}{x^2}）$，当BA⊥l时，|AB|最小，此时|AB|=$\frac{|x+\frac{1}{2}{x}^{2}+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{1}{2}（x+1）^{2}+\frac{1}{2}}{\sqrt{5}}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）点P（$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$）在直线l：ρcosθ+2ρcosθ+a=0（a∈R）上，
∴$\sqrt{2}$$（cos\frac{7π}{4}+2sin\frac{7π}{4}）$+a=0，
化为$\sqrt{2}$×$（\frac{\sqrt{2}}{2}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}）$+a=0，解得a=1．
∴直线l：ρcosθ+2ρcosθ+a=0即为：ρcosθ+2ρcosθ+1=0，
可得直角坐标方程：x+2y+1=0．
（Ⅱ）由题知，对于某点$B（x，\frac{1}{4}{x^2}）$，
当BA⊥l时，|AB|最小，
此时|AB|=$\frac{|x+\frac{1}{2}{x}^{2}+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{1}{2}（x+1）^{2}+\frac{1}{2}}{\sqrt{5}}$$≥\frac{1}{2\sqrt{5}}$，
∴|AB|的最小值为$\frac{{\sqrt{5}}}{10}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程互化、点到直线的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．