Question

设函数f（x）=

1

2

-

1

2x+1

（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）证明函数f（x）在（-∞，+∞）内是增函数；
（3）求函数f（x）在[1，2]上的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的奇偶性的定义即可证明函数f（x）是奇函数；
（2）根据函数单调性的性质即可证明函数f（x）在（-∞，+∞）内是增函数；
（3）利用函数单调性的性质即可求函数f（x）在[1，2]上的值域．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为R，
∵f（x）=

1

2

-

1

2x+1

=

2x+1-2

2(2x+1)

=

2x-1

2(2x+1)

，
则f（-x）=

2-x-1

2(2-x+1)

=-

2x-1

2(2x-1)

=-f（x），
即函数f（x）是奇函数；
（2）∵y=2^x+1是增函数，
∴y=-

1

2x+1

是增函数，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

在（-∞，+∞）内是增函数；
（3）∵f（x）=

1

2

-

1

2x+1

在（-∞，+∞）内是增函数，
∴函数f（x）在[1，2]上也是增函数，
即f（1）≤f（x）≤f（2），
即

1

6

≤f（x）≤

3

10

，
即此时函数的值域为[

1

6

，

3

10

]．

点评：本题主要考查函数奇偶性，单调性以及值域的应用，综合考查函数的性质．