Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，直线l₁与抛物线交于不同的两点A、B，直线l₂与抛物线交于不同的两点C、D．
（Ⅰ）当l₁过F时，在l₁上取不同于F的点P，使得

|FA|

|FB|

=

|PA|

|PB|

，求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若l₁与l₂相交于点Q，且倾斜角互补时，|QA|•|QB|=a|QC|•|QD|，求实数a的值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）先设出A，B，P的坐标，及两直线的方程，代入抛物线方程利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，设出A，B，F，P在y轴的投影利用比例关系求得-

y1

y2

=

y-y1

y-y2

，整理后消去m得到P的轨迹方程．
（Ⅱ）设出A，B，C，D，Q的坐标以及两直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理分别求得x₁+x₂和x₁x₂，x₃+x₄和x₃x₄，表达式，进而表示出|QA|•|QB|和|QC|•|QD|，利用x₀的坐标代入求得a．

解答： 解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），因P不同于F，知P不在线段AB上，
设l₁：x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0，
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
设A，B，F，P在y轴的投影分别是A′，B′，F′，P′，
则

|F′A′|

|F′B′|

=

|P′A′|

|P′B′|

，|

y1

y2

|=

|y-y1|

|y-y2|

，
由于y₁，y₂异号，P不在线段AB上，则y-y₁与y-y₂同号，
∴-

y1

y2

=

y-y1

y-y2

，即（y₁+y₂）•y=2y₁y₂，
∴my=-2，
而x=my+1，
∴x=-1，（y≠0），
∴P点的轨迹方程为x=-1（y≠0）．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），Q（x₀，y₀），
l₁：y=kx+m，l₂：y=-kx+n，代入y²=4x，得k²x²+（2km-4）x+m²=0，k²x²+（-2kn-4）+n²=0
则x₁+x₂=

4-2km

k2

，x₁x₂=

m2

k2

，x₃+x₄=

2kn+4

k2

，x₃x₄=

n2

k2

，
则|QA|•|QB|=

k2+1

|x₁-x₀|•

k2+1

|x₂-x₀|=（k²+1）|x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+

x

2 0

|
|QC|•|QD|=

k2+1

•|x₃-x₀|•

k2+1

•|x₄-x₀|=（k²+1）|x₃x₄-x₀（x₃+x₄）+

x

2 0

|，
而[x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+

x

2 0

]-[x₃x₄-x₀（x₃+x₄）+

x

2 0

]=x₁x₂-x₃x₄+x₀[（x₃+x₄）-（x₁+x₂）]
=

m2

k2

-

n2

k2

+x₀[

2kn+4

k2

-

4-2km

k2

]
=

m2-n2

k2

+x₀•

2k(n+m)

k2

，①
又Q在l₁上也在l₂上，
∴

y0=kx0+m y0=-kx0+n

，则2kx₀=n-m，
∴x₀=

n-m

2k

，
∴①式可化为

m2-n2

k2

+

n-m

2k

•

2k(n+m)

k2

=

m2-n2

k2

-

m2-n2

k2

=0，
∴a=1．

点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系．常把直线方程与抛物线方程联系消元，利用韦达定理建立等式解决问题．