Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于C点，且OC=3OA．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点P（m，n）是直线BC上方的抛物线一点，过P作PN∥OC交BC于N，设PN=h，求h关于m的函数解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意求出点C的坐标，列出方程，解得a，b的值，继而求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）的结论需要分类讨论，求出h关于m的函数解析式．

解答： 解：（1）∵A（-1，0）
∴OA=1，
又C点在y轴上，且OC=3OA．
∴c=±3
∴点C的坐标是（0，3）或（0，-3）
∵y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0），
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

或

a-b-3=0 9a+3b-3=0

解得：

a=-1 b=2

，或

a=1 b=-2

∴y=-x²+2x+3或y=x²-2x-3
（2）当抛物线为y=-x²+2x+3时，直线BC为y=-x+3，
∵过P作PN∥OC交BC于N，点P（m，n）是直线BC上方的抛物线一点
设N点坐标为（m，t），（0＜m＜3）
∴PN=h=n-t=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，（0＜m＜3）
当抛物线为y=x²-2x-3时，直线BC为y=x-3，
∵过P作PN∥OC交BC于N，点P（m，n）是直线BC上方的抛物线一点
设N点坐标为（m，t），（m＜0或m＞3）
∴PN=h=n-t=m²-2m-3-（m-3）=m²-3m，（m＜0或m＞3）．
∴h=

m2-3m，(m＜0，或m＞3) -m2+3m，(0＜m＜3)

点评：本题主要考查了函数的解析式的求法，注意自变量的取值范围．