Question

10．函数y=-1+log_a（x+3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值为8．

Answer 1

分析 函数y=-1+log_a（x+3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（-2，-1），进而可得2m+n=1，结合基本不等式可得$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值．

解答 解：当x=-2时，y=-1恒成立，
故函数y=-1+log_a（x+3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（-2，-1），
若点A在直线mx+ny+1=0上，
则2m+n=1，
故$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$）（2m+n）=4+$\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}$≥4+$2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=8，
即$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值为8，
故答案为：8

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，对数函数的图象和性质，基本不等式的应用，难度中档．