Question

5．矩阵的一种运算$（{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}）（{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}）=（{\begin{array}{l}{ax+by}\\{cx+dy}\end{array}}）$，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵$（{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}）$的作用下变换成点（ax+by，cx+dy），若曲线x²+4xy+2y²=1在矩阵$（{\begin{array}{l}1&a\\ b&1\end{array}}）$的作用下变换成曲线x²-2y²=1，则ab=0．

Answer 1

分析 设（x，y）是曲线x²+4xy+2y²=1的点，在矩阵 $（{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}）$的作用下的点为（x′，y′），得出关于a，b的方程组，从而解决问题．

解答 解：设（x，y）是曲线x²+4xy+2y²=1的点，在矩阵 $[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{1}\end{array}]$的作用下的点为（x′，y′），
即$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+ay}\\{y′=bx+y}\end{array}\right.$，又x′²-2y′²=1，
∴（x+ay）²-2（bx+y）²=1，（1-2b²）x²+（2a-4b）xy+（a²-2）y²=1．
故 $\left\{\begin{array}{l}{1-2b=1}\\{2a-4b=4}\\{{a}^{2}-2=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴ab=0．
故答案为：0．

点评 本题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用待定系数法求解a，b；属于基础题．