Question

20．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，关于x的不等式f²（x）+af（x）＞0只有一个整数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{ln3}{3}$，-$\frac{ln2}{2}$]
• B． （-$\frac{1}{e}$，-$\frac{ln2}{2}$]
• C． [$\frac{ln2}{2}$，-$\frac{ln3}{3}$]
• D． [$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 利用导数，求出f（x）的单调性，通过讨论a的符号，结合图象，解关于f（x）的不等式结合不等式解的个数，求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，
令f′（x）＜0，解得：x＞e，
∴f（x）的递增区间为（0，e），递减区间为（e，+∞），故f（x）的最大值是f（e）=$\frac{1}{e}$．
x→+∞时，f（x）→0，x→0时，x→-∞，f（1）=0，故在（0，1）时，f（x）＜0，在（1，+∞）时，f（x）＞0，
函数f（x）的图象如下：

①a＜0时，由不等式f²（x）+af（x）＞0得f（x）＞-a＞0或f（x）＜0，
而f（x）＜0的解集为（0，1）无整数解，f（x）＞-a＞0的解集整数解一个，
∵f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
而2＜e＜3，f（2）=f（4）＜f（3），这一个正整数只能为3，
∴f（2）≤-a＜f（3），∴-$\frac{ln3}{3}$＜a$≤-\frac{ln2}{2}$
②a=0时，由不等式f²（x）+af（x）＞0，得f（x）≠0，解集为（0，1）∪（1，+∞），
整数解有无数多个，不合题意；
③a＞0时，由不等式f²（x）+af（x）＞0，得f（x）＞0或f（x）＜-a＜0，
∵f（x）＜-a＜0的解集为（0，1）无整数解，而f（x）＞0的解集为（1，+∞），整数解有无数多个，不合题意；
 综上，故选：A

点评 题考查了函数图象及单调性，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想、数形结合思想，属于中档题．