题目内容
已知定点F1（-
，0），F2（
，0），动点R在曲线C上运动且保持|RF1|+|RF2|的值不变，曲线C过点T（0，1），
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）M是曲线C上一点，过点M作斜率分别为k1和k2的直线MA，MB交曲线C于A、B两点，若A、B关于原点对称，求k1•k2的值；
（Ⅲ）直线l过点F2，且与曲线C交于PQ，有如下命题p：“当直线l垂直于x轴时，△F1PQ的面积取得最大值”．判断命题p的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请说明理由．
| 3 |
| 3 |
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）M是曲线C上一点，过点M作斜率分别为k1和k2的直线MA，MB交曲线C于A、B两点，若A、B关于原点对称，求k1•k2的值；
（Ⅲ）直线l过点F2，且与曲线C交于PQ，有如下命题p：“当直线l垂直于x轴时，△F1PQ的面积取得最大值”．判断命题p的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的关系,命题的真假判断与应用,轨迹方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）由题意求得|RF1|+|RF2|=4，符合椭圆定义，且求得a，c的值，进一步得到b2的值，则曲线C的方程可求；
（Ⅱ）设M（x0，y0），A（x1，y1），B（-x1，-y1），由点M，A在椭圆上得到M，A的坐标的两个方程，作差后得到
+y02-y12=0，由两点式得到k1和k2，结合上式即可求得k1•k2=
=-
；
（Ⅲ）设直线l的方程为x=my+
，代入椭圆方程
+y2=1，由弦长公式把|PQ|用含有m的代数式表示，求出F1到直线l的距离，代入，△F1PQ的面积公式，换元后利用基本不等式求最值．求出△F1PQ的面积取得最大值时的m值，从而得到直线方程，说明命题p是假命题．
（Ⅱ）设M（x0，y0），A（x1，y1），B（-x1，-y1），由点M，A在椭圆上得到M，A的坐标的两个方程，作差后得到
| x02-x12 |
| 4 |
| y02-y12 |
| x02-x12 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅲ）设直线l的方程为x=my+
| 3 |
| x2 |
| 4 |
解答：
解：（Ⅰ）∵|RF1|+|RF2|=|TF1|+|TF2|=2
=4＞|F1F2|=2
，
∴曲线C为以原点为中心，F1、F2为焦点的椭圆，
设其半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c，则2a=2，2c=2
，
∴a=2，c=
，b2=a2-c2=1．
∴曲线C的方程为
+y2=1；
（Ⅱ）设M（x0，y0），A（x1，y1）则B（-x1，-y1），
∵点M，A在椭圆
+y2=1上，
∴
+y02=1，
+y12=1，
相减得
+y02-y12=0，
又k1=
，k2=
，
∴k1•k2=
=-
；
（Ⅲ）设直线l的方程为x=my+
，代入椭圆方程
+y2=1，
得(4+m2)y2+2
my-1=0，计算并判断得△＞0，
设P（x3，y3），Q（x4，y4），得
，
∴|PQ|=
=
=
．
F1到直线l的距离d=
，
设t=
，则t≥1，
∴S△F1PQ=
|PQ|•d=4
×
=
=
≤2．
当t2=3，即m2=2，m=±
时，△F1PQ的面积最大．
∴原命题是假命题，△F1PQ的面积取得最大值时，直线l的方程为：
x+
y-
=0和x-
y-
=0．
(
|
| 3 |
∴曲线C为以原点为中心，F1、F2为焦点的椭圆，
设其半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c，则2a=2，2c=2
| 3 |
∴a=2，c=
| 3 |
∴曲线C的方程为
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）设M（x0，y0），A（x1，y1）则B（-x1，-y1），
∵点M，A在椭圆
| x2 |
| 4 |
∴
| x02 |
| 4 |
| x12 |
| 4 |
相减得
| x02-x12 |
| 4 |
又k1=
| y0-y1 |
| x0-x1 |
| y0+y1 |
| x0+x1 |
∴k1•k2=
| y02-y12 |
| x02-x12 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅲ）设直线l的方程为x=my+
| 3 |
| x2 |
| 4 |
得(4+m2)y2+2
| 3 |
设P（x3，y3），Q（x4，y4），得
|
∴|PQ|=
| (x3-x4)2+(y3-y4)2 |
| (1+m2)[(y3+y4)2-4y3y4] |
=
| 4(1+m2) |
| 4+m2 |
F1到直线l的距离d=
2
| ||
|
设t=
| 1+m2 |
∴S△F1PQ=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 4+m2 |
=
4
| ||
| t2+3 |
4
| ||
t+
|
当t2=3，即m2=2，m=±
| 2 |
∴原命题是假命题，△F1PQ的面积取得最大值时，直线l的方程为：
x+
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了“点差法”，考查了弦长公式的应用，训练了利用基本不等式求最值，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线与圆锥曲线联立，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求解．此题是高考试卷中的压轴题．
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在长为8的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC、BC的长，则该矩形面积大于15的概率（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
当实数x，y满足不等式
时，恒有ax+y≤2成立，则实数a的取值集合是（ ）
|
| A、（0，1] |
| B、（-∞，1] |
| C、（-1，1] |
| D、（1，2） |
如图1，△ABC为正三角形，△BCD为等腰直角三角形，∠BCD=90°，将△ABC沿BC边折叠到△A′BC的位置，使A′B=A′D，E为BD中点，如图2．
如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：如图给出的是计算1+
+
+…+
的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 11 |
| A、i＜12 | B、i＞11 |
| C、i＜11 | D、i≤6 |