Question

12．已知b≥a＞0，若存在实数x，y满足0≤x≤a，0≤y≤b，（x-a）²+（y-b）²=x²+b²=a²+y²，则$\frac{b}{a}$的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 设A（0，b），B（x，0），C（a，b-y），由x-a）²+（y-b）²=x²+b²=a²+y²
得△ABC为等边△，设△ABC边长为m，∠OAB=θ，（0$≤θ≤\frac{π}{6}$）
过C作CH⊥x轴与H，则∠ACH=θ-$\frac{π}{6}$，a=mcos（$θ-\frac{π}{6}$），b=mcosθ即可求解．

解答 解：如图设A（0，b），B（x，0），C（a，b-y）
∵（x-a）²+（y-b）²=x²+b²=a²+y²
∴△ABC为等边△，设△ABC边长为m，∠OAB=θ，（0$≤θ≤\frac{π}{6}$）
过C作CH⊥x轴与H，则∠ACH=θ-$\frac{π}{6}$，∴$a=mcos（θ-\frac{π}{6}）$
b=mcosθ
∴$\frac{b}{a}=\frac{cosθ}{cos（θ-\frac{π}{6}）}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}tanθ}$
∴当θ=0时，$（\frac{b}{a}）_{nax}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查了通过解析法处理最值问题，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．