Question

18．已知函数f（x）=|2x-1|+|x+1|，g（x）=|x-a|+|x+a|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞9；
（Ⅱ）?x₁∈R，?x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不等式f（x）＞9?$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-2x+1-x-1＞9}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{-2x+1+x+1＞9}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1+x+1＞9}\end{array}\right.$，分别求解即可．
（Ⅱ）?x₁∈R，?x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）?函数f（x）的值域是函数g（x）值域的子集，分别求出两函数值域，根据子集的定义列式求解．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＞9?
$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-2x+1-x-1＞9}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{-2x+1+x+1＞9}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1+x+1＞9}\end{array}\right.$，
即x＜-3或∈∅或x＞3，
∴原不等式解集为（3，+∞）∪（-∞，3）；
（Ⅱ）?x₁∈R，?x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）?函数f（x）的值域是函数g（x）值域的子集，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，（x＜-1）}\\{-x+2，（-1≤x≤\frac{1}{2}）}\\{3x，（x＞\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$，
当x＜-1时，-3x＞3；当-1≤x$≤\frac{1}{2}$时，$\frac{3}{2}≤$-x+2≤3；当x$＞\frac{1}{2}$时，3x$≥\frac{3}{2}$，
∴函数f（x）的值域是[$\frac{3}{2}，+∞$），
g（x）=|x-a|+|x+a|≥|2a|，
∴|2a|$≤\frac{3}{2}$，即-$\frac{3}{4}≤a≤\frac{3}{4}$．
∴实数a的取值范围为[-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，恒成立与存在问题，考查了转化思想，属于中档题．