Question

14．抛物线y=2x²的一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是x=$\frac{1}{2}$（y＞$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 设出直线方程和两个交点坐标，与抛物线方程联立消去y，利用判别式大于0求得b的范围，同时根据韦达定理分别求得x₁+x₂的值，利用直线方程求得y₁+y₂的表达式，设出AB的中点的坐标，可求得x=$\frac{1}{2}$，同时根据b的范围可确定y的范围，最后可求得所求的轨迹方程．

解答 解：设直线方程为y=2x+b
设两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）联立抛物线y=2x²与直线方程y=2x+b，
消去y，可得2x²-2x-b=0，△=4+8b＞0，∴b＞-$\frac{1}{2}$ ①
另根据韦达定理有：x₁+x₂=1 ②
而A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在直线y=2x+b上，可分别代入得到：y₁=2x₁+b y₂=2x₂+b
∴y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b将②代入上式，可得：y₁+y₂=2b+2 ③
设AB的中点M（x，y），可根据中点坐标公式可得：x=$\frac{1}{2}$，y=b+1
由条件①可得：y=b+1＞$\frac{1}{2}$
∴M点（即动弦AB中点）的轨迹方程是x=$\frac{1}{2}$（y＞$\frac{1}{2}$）
故答案为：x=$\frac{1}{2}$（y＞$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，求轨迹方程问题等．一般是把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求得问题的解决的途径．