Question

6．已知点A（-$\sqrt{3}$，2），B（$\sqrt{3}$，0），且AB为圆C的直径．
（1）求圆C的方程；
（2）设点P为圆C上的任意一点，过点P作倾斜角为120°的直线l，且l与直线x=$\sqrt{3}$相交于点M，求|PM|的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出AB的中点坐标为（0，1），圆的半径为2，即可求圆C的方程；
（2）设直线l的方程为y=-$\sqrt{3}$x+b，代入x²+（y-1）²=4，可得4x²-2$\sqrt{3}$（b-1）x+b²-2b-3=0，求出较小根的最小值，即可求|PM|的最大值及此时直线l的方程．

解答 解：（1）AB的中点坐标为（0，1），圆的半径为2，
∴圆C的方程为x²+（y-1）²=4；
（2）设直线l的方程为y=-$\sqrt{3}$x+b，
代入x²+（y-1）²=4，可得4x²-2$\sqrt{3}$（b-1）x+b²-2b-3=0，
较小根为$\frac{\sqrt{3}（b-1）-\sqrt{-（b-1）^{2}+64}}{4}$，b=1时，取得最小值-2，
∴|PM|的最大值为2（$\sqrt{3}$+2），此时直线l的方程为y=-$\sqrt{3}$x+1．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．