Question

已知数列的前项和满足，
（Ⅰ）求数列的前三项
（Ⅱ）设，求证：数列为等比数列，并指出的通项公式。

Answer 1

(Ⅰ) ；（Ⅱ）．

试题分析：(Ⅰ) 求数列的前三项，在中分别令即可求出；（Ⅱ）数列为等比数列，只需证明等于一个与无关的常数，由，首先求出数列的通项公式，或递推式，由，这是已知，求，可利用来求，即当，，可得，由，把代入可得，从而可证，求的通项公式，由是首项为，公比为2的等比数列，可写出的通项公式，从而可得数列的通项公式．
试题解析：(Ⅰ)在中分别令n=1，2，3得
（2分）         解得  （4分）
⑵由，n≥1得，n≥2
两式想减得,即，   （6分）
∴a_n+(-1)ⁿ=2a_n-1+(-1)ⁿ-2(-1)ⁿ=2a_n-1+(-1)^n-1
=2[a_n-1+(-1)^n-1](n≥2)    （9分）
即b_n=2b_n-1(n≥2),b₁=a₁-=
∴是首项为，公比为2的等比数列.     （10分）
∴b_n=×2^n-1= a_n+(-1)ⁿ
               (12分)