Question

已知数列的前项和，数列满足 ．
（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的通项；
（Ⅲ）若，求数列的前项和．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）由，得当时，，当时，，不满足，因此所求.
（Ⅱ）由，，可得递推公式，所以，，， ，，将上列各式两边累加可得，再根据等差数列前项和公式可求得（叠加消项法在求数列的通项、前项和中常常用到，其特点是根据等式两边结构特征，一边相加可消掉中间项，另一边相加可以得到某一特殊数列或是常数）.
（Ⅲ）由题意得当时，，当时，，所以所求，，
将两式相减得，
从而可求得（错位相减法是求数列前项和的常用方法，它适用于如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应各项之积构成的）.
试题解析：（Ⅰ）∵,
∴．              2分
∴．          3分
当时，，
∴                    4分
（Ⅱ）∵
∴，
，
，
，
以上各式相加得
．
∵ ，
∴．                     9分
（Ⅲ）由题意得
∴，
∴，
∴

=，
∴．                   13分