Question

如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．
（1）求证：AF⊥DB；
（2）如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积的比等于3π，设∠ABE=θ，求sin2θ．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）欲证AF⊥DB，先证AF⊥平面DEB，根据线面垂直的判定定理可知只需证EB⊥AF，AF⊥DE，且EB∩DE=E，即可证得线面垂直；
点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH，运用体积之比得出，得EH=R，可以判断θ=45°，即可求解sin2θ的值．

解答： （1）证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．
∵EB?平面ABE，
∴DA⊥EB．
∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，
故得EB⊥平面DAE．
∵AF?平面DAE，
∴EB⊥AF．
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，
故得AF⊥平面DEB．
∵DB?平面DEB，
∴AF⊥DB．
（2）解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH．
根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH?平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．
又DH?平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．
设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是
V圆柱=2πR³，V_D-ABE=

1

3

×S_△ABE×AD=

2R2

3

•EH．
由V_圆柱：V_D-ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心，
AH=R，
∵设∠ABE=θ，∴θ=45°，
sin2θ=sin90°=1．

点评：本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．