Question

4．已知圆（x-1）²+y²=R²（R＞0）与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1有公共点，求圆的半径R的最小值．

Answer 1

分析 将圆方程和椭圆方程消去y，可得x的二次方程，结合图形，当圆包含在椭圆内，且与椭圆相切时，半径取得最小．此时判别式为0，解方程可得圆的半径的最小值．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1与圆（x-1）²+y²=R²有公共点，
将圆的方程和椭圆方程相减得：
（x-1）²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=R²-1，
即有4x²-8x+4-x²+4=4R²，
即3x²-8x+8-4R²=0，
当圆包含在椭圆内，且与椭圆相切时，半径取得最小．
可得△=64-48（2-R²）=0，
即有R²=$\frac{2}{3}$，解得R=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
则R的最小值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查圆与椭圆有公共点的条件，注意联立方程消去一个未知数，运用数形结合的思想方法，可得判别式等于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．