Question

15．已知函数f（x）=e^x-mx-n．
（1）求函数f（x）在[0，1]上的最小值；
（2）若方程f（x）=$\frac{1}{2}$mx²+（n-m）x-n+1的一个解为1，且该方程还在（0，1）上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，再分类讨论，根据函数的单调性即可求出函数的最值，
（2）构造函数g（x），转化为函数g（x）在（0，1）上有零点，根据零点存在定理和导数和与函数的关系，即可求出m的范围．

解答 解：（1）依题意，f′（x）=e^x-m，
①当m≤0时，f′（x）=e^x-m＞0，
∴f（x）在R上单调递增，从而f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）_min=f（0）=1，
①当m＞0时，f′（x）=e^x-m＞0，即x＞lnm，
∴f（x）在（-∞，lnm）上单调递减，在（lnm，+∞）上单调递增，
当lnm≤0，即0＜m≤1，f（x）在（0，lnm）上单调递减，
∴f（x）_min=f（0）=1-n，
当0＜lnm＜1，即1＜m＜e时，
∴f（x）在（-∞，lnm）上单调递减，在（lnm，1）上单调递增，
∴f（x）_min=f（lnm）=m-mlnm-n，
当lnm≥1，即m≥e时，f（x）在[0，1]上单调递减，
∴f（x）_min=f（1）=e-m-n
综上所述，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{1-n，（m≤1）}\\{m-mlnm-n，（1＜m＜e）}\\{e-m-n，（m≥e）}\end{array}\right.$
（2）g（x）=-f（x）+$\frac{1}{2}$mx²+（n-m）x-n+1=n-e^x+mx+$\frac{1}{2}$mx²+（n-m）x-n-1=-e^x+$\frac{1}{2}$mx²+nx+1，
问题转化为，
且g′（x）=n+mx-e^x=-f（x），g（0）=g（1）=0，
令x₀为g（x）在（0，1）内的一个零点，则由g（0）=g（x₀）=0知，g（x）在（0，x₀）内不单调递增，也不单调递减，也不单调递增，
从而-f（x）在（0，x₀）内不能恒为正，也不能恒为负．
∴-f（x）在（0，x₀）内存在零点x₁，
同理-f（x）在（x₀，1）存在零点x₂，
∴-f（x）在（0，1）内至少有两个零点x₁，x₂，
由（1）知，当m≤1时，-f（x）在（0，1）内单调递减，
∴-f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意，
当1＜m＜e时，-f（x）在（0，lnm）上单调递增，在（lnm，1）上单调递减，
∴x₁∈（0，lnm），x₂∈（lnm，1），
从而-f（0）=n-1＜0，-f（1）=m+n-e＜0，否则，矛盾，
∴-f（0）=n-1=e-2-$\frac{m}{2}$＜0，即m＞2（e-2）；
-f（1）=m+n-e=$\frac{m}{2}$-1＜0，即m＜2，
∴2（e-2）＜m＜2，
当2（e-2）＜m＜2时，-f（x）在（0，1）的最大值为[-f（x）]_max=n+mlnm-m，
若[-f（x）]_max=n+mlnm-m≤0，则-f（x）≤0，x∈[0，1]，
从而g（x）在[0，1]上单调递减，这与g（0）=g（1）=0相矛盾，
∴[-f（x）]_max=n+mlm-m＞0，
又f（0）＜0，-f（1）＜0，
∴-f（x）在（0，lnm），（lnm，1）内各有一个零点x₁，x₂，
∴g（x）在（0，x₁）内单调递减，在（x₁，x₂）内单调递增，在（x₂，1）内单调递减，
∴g（x₁）＜g（0）=0，g（x₂）＞g（1）=0，
∴g（x）在（x₁，x₂）内有零点，
∴m的取值范围是（2（e-2），2）

点评 本题考查了导数与函数的最值，导数与函数的东西，着重考查学生的推理能力，属于难题．