Question

已知函数f（x）=(

x

x+1

)2（x＞0），试判断f^-1（x）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

考点：反函数,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：反函数f^-1（x）的单调性与原函数f（x）的单调性相同，故只需证明f（x）的单调性即可，定义法可判．

解答： 解：由反函数的性质可得f^-1（x）的单调性与f（x）=(

x

x+1

)2（x＞0）的单调性相同，
故只需证明f（x）的单调性即可，
设任意x₁，x₂＞0且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）
=(

x1

x1+1

)2-(

x2

x2+1

)2=

x12(x22+1)2-x22(x12+1)2

(x1+1)2(x22+1)2

=

(x1-x2)(2x1x2+x1+x2)

(x1+1)2(x22+1)2

，
∵x₁，x₂＞0且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
又2x₁x₂+x₁+x₂＞0，(x12+1)2(x22+1)2＞0，
∴

(x1-x2)(2x1x2+x1+x2)

(x1+1)2(x22+1)2

＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）=(

x

x+1

)2（x＞0）为单调递增函数，
∴f^-1（x）为单调递增函数．

点评：本题考查反函数的性质，涉及定义法证明函数的单调性，属基础题．