Question

下列命题：
（1）函数y=

1

x

+x（x＜0）的值域是（-∞，-2]；
（2）函数y=x²+2+

1

x2+2

最小值是2；
（3）若a，b同号且a≠b，则

a

b

+

b

a

≥2．
其中正确的命题是（　　）

• A、（1）（2）（3）
• B、（1）（2）
• C、（2）（3）
• D、（1）（3）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：利用基本不等式求最值说明（1）正确；利用“对勾函数”的单调性求得函数y=x²+2+

1

x2+2

的最小值说明（2）错误；由基本不等式求最值结合复合命题的真值表说明（3）正确．

解答： 解：对于（1），∵x＜0，
∴y=

1

x

+x=-（-x+

1

-x

）≤-2

(-x)• 1 -x

=-2．
即函数y=

1

x

+x（x＜0）的值域是（-∞，-2]．命题（1）正确；
对于（2），令t=x²+2≥2．
∴y=x²+2+

1

x2+2

=t+

1

t

在[2，+∞）上为增函数，
∴ymin=2+

1

2

=

5

2

．命题（2）错误；
对于（3），∵a，b同号，
∴

a

b

＞0，
则

a

b

+

b

a

≥2

a b • b a

=2．
∵a≠b，
∴

a

b

+

b

a

＞2．
由复合命题的真值表可知，

a

b

+

b

a

≥2．命题③正确．
∴正确的命题是（1）（3）．
故选：D．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．