题目内容

若α∈（
π
2
，π），tan（α+
π
6
）=
1
7
，求sin（2α+
π
3
）=
 
．
考点：两角和与差的正切函数
专题：三角函数的求值
分析：由二倍角公式可得sin（2α+
π
3
）=2sin（α+
π
6
）cos（α+
π
6
）=
2sin(α+
π
6
)cos(α+
π
6
)
sin2(α+
π
6
)+cos2(α+
π
6
)
，分子分母同除以cos2（α+
π
6
）化为正切函数可得．
解答： 解：∵tan（α+
π
6
）=
1
7
，
∴sin（2α+
π
3
）=2sin（α+
π
6
）cos（α+
π
6
）
=
2sin(α+
π
6
)cos(α+
π
6
)
sin2(α+
π
6
)+cos2(α+
π
6
)

=
2sin(α+
π
6
)cos(α+
π
6
)
cos2(α+
π
6
)
sin2(α+
π
6
)+cos2(α+
π
6
)
cos2(α+
π
6
)

=
2tan(α+
π
6
)
tan2(α+
π
6
)+1

=
2×
1
7
(
1
7
)2+1
=
7
25

故答案为：
7
25
点评：本题考查三角函数求值，涉及二倍角公式和弦化切的思想，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=f（x），x∈[-1，1]的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（如图所示），则不等式的f（-x）＞f（x）+2
3
x的解集
 
．
在数列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*），则数列{an}的通项为an=
 
．
已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（4-x）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x2+2x，则f（2011）=
 
．
已知f（x）=|sinx|（x≥0），y=g（x）是过原点且与y=f（x）图象恰有三个交点的直线，这三个交点的横坐标分别为0，α，β（0＜α＜β），那么下列结论中正确的有
 
．（填正确结论的序号）
①f（x）-g（x）≤0的解集为[α，+∞）；
②y=f（x）-g（x）在（
π
2
，α）上单减；
③αsinβ+βsinα=0
④当x=π时，y=f（x）-g（x）取得最小值．
给出下列四个命题：
①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件；
②当x＞0且x≠1时，有lnx+
1
lnx
≥2；
③在等差数列{an}中，若ap+aq=am+an，则p+q=m+n；
④若函数y=f（x-
3
2
）为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点F（
3
2
，0）成中心对称．
其中所有正确命题的序号为
 
．
如果向量
a
=（1，0，1），
b
=（0，1，1）分别平行于平面α，β，且都与这两个平面的交线l垂直，则二面角?α-l-β的大小可能是（　　）
A、90°B、30°
C、45°D、60°
下列命题：
（1）函数y=
1
x
+x（x＜0）的值域是（-∞，-2]；
（2）函数y=x2+2+
1
x2+2
最小值是2；
（3）若a，b同号且a≠b，则
a
b
+
b
a
≥2．
其中正确的命题是（　　）
A、（1）（2）（3）
B、（1）（2）
C、（2）（3）
D、（1）（3）
已知函数f（x）=3sin（ωx-
π
6
）（ω＞0）和g（x）=3cos（2x+φ）（|φ|＜π）的图象的对称中心完全相同，则φ的值为（　　）
A、
π
3
B、-
2π
3
C、
π
3
或-
2π
3
D、-
π
3
或
2π
3

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