Question

已知a为正实数，n为自然数，抛物线y=-x2+

an

2

与x轴正半轴相交于点A．设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
（1）用a和n，表示f（n）；
（2）求对所有n都有

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立的a的最小值；
（3）当0＜a＜1时，比较

n

i=1

1

f(k)-f(2k)

与

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）先求切线方程，再令x=0，即可得到结论；
（2）由（1）知f（n）=aⁿ，则

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立的充要条件是aⁿ≥2n³+1，即知，aⁿ≥2n³+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥

17

，从而可得结论；
（3）首先证明：当0＜x＜1时，

1

x-x2

≥

27

4

x，在比较大小即可．

解答： 解：（1）∵抛物线y=-x2+

an

2

与x轴正半轴相交于点A，
∴A(

an 2

，0)
y=-x2+

an

2

求导，可得y′=-2x
∴抛物线在点A处的切线方程为y=-

2an

（x-

an 2

），即y=-

2an

x+aⁿ
∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，
∴f（n）=aⁿ；
（2）由（1）知f（n）=aⁿ，则

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立的充要条件是aⁿ≥2n³+1
即知，aⁿ≥2n³+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥

17

当a=

17

，n≥3时，aⁿ＞4ⁿ=（1+3）ⁿ≥1+3

C

1 n

+9

C

2 n

+27

C

3 n

=1+2n³+

1

2

n[5（n-2）²+（2n-5）]＞2n³+1
当n=0，1，2时，（

17

）ⁿ≥2n³+1
∴a=

17

时，对所有n都有

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立
∴a的最小值为

17

；
（3）由（1）知f（k）=a^k，下面证明：

n

i=1

1

f(k)-f(2k)

＞

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

．
首先证明：当0＜x＜1时，

1

x-x2

≥

27

4

x
设函数g（x）=

27

4

x（x²-x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=

81

4

x（x-

2

3

）
当0＜x＜

2

3

时，g′（x）＜0；当

2

3

＜x＜1时，g′（x）＞0
故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）_min=g（

2

3

）=0
∴当0＜x＜1时，g（x）≥0，∴

1

x-x2

≥

27

4

x
由0＜a＜1知0＜a^k＜1，因此

1

ak-a2k

≥

27

4

ak，
从而

n

i=1

1

f(k)-f(2k)

=

1

a-a2

+

1

a2-a4

+…+

1

an-a2n

≥

27

4

n

k=1

ak=

27

4

×

a-an+1

1-a

＞

27

4

×

a-an

1-a

=

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

点评：本题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属于中档题．