Question

已知正项数列{a_n}中，a₁=2，点(

an

，an+1)在函数y=x²+1的图象上，数列{b_n}中，点（b_n，T_n）在直线y=-

1

2

x+3上，其中T_n是数列{b_n}的前n项和（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列与解析几何的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由点(

an

，an+1)在函数y=x²+1的图象上，可得a_n+1=a_n+1，从而可知{a_n}为公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式可得答案；
（2）由点（b_n，T_n）在直线y=-

1

2

x+3上，得Tn=-

1

2

bn+3①，从而可得Tn+1=-

1

2

bn+1+3②，两式作差可得数列递推式，据此可判断该数列为等比数列，由等比数列通项公式可得答案；

解答： 解：（1）因为点(

an

，an+1)在函数y=x²+1的图象上，
所以a_n+1=a_n+1，故{a_n}为公差为1的等差数列，
又a₁=2，所以a_n=2+（n-1）•1=n+1．
（2）因为点（b_n，T_n）在直线y=-

1

2

x+3上，
所以Tn=-

1

2

bn+3①，
则Tn+1=-

1

2

bn+1+3②，
②-①得，b_n+1=-

1

2

b_n+1+

1

2

bn，即bn+1=

1

3

bn，
由T1=-

1

2

b1+3得b₁=2，
所以{b_n}是以

1

3

为公比的等比数列，
所以b_n=2•(

1

3

)n-1．

点评：本题考查数列与解析几何的综合、等差数列等比数列概念，考查学生分析解决问题的能力．