Question

已知f（x）=

1-x

，当α∈（

5π

4

，

3π

2

）时，式子f（sin 2α）-f（-sin α）可化简为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：根据二倍角的正弦公式和1的代换，可得1-sin2α=（sinα-cosα）²且1+sinα=（sin

1

2

α+cos

1

2

α）²．由此代入题中，并结合α∈（

5π

4

，

3π

2

）化简整理，即可得到答案．

解答： 解：∵1=sin²α+cos²α，sin2α=2sinαcosα
∴f（sin2α）=

1-sin2α

=

sin2α-2sinαcosα+cos2α

=|sinα-cosα|
同理可得f（-sinα）=

1+sinα

=|sin

1

2

α+cos

1

2

α|
∴f（sin2α）-f（-sinα）=|sinα-cosα|+|sin

1

2

α+cos

1

2

α|
∵α∈（

5π

4

，

3π

2

），∴sinα＜cosα，
且

1

2

α∈（

5π

8

，

3π

4

），可得sin

1

2

α+cos

1

2

α＜0
∴|sinα-cosα|=cosα-sinα，|sin

1

2

α+cos

1

2

α|=-sin

1

2

α-cos

1

2

α
可得f（sin2α）-f（-sinα）=cosα-sinα-sin

1

2

α-cos

1

2

α
故答案为：cosα-sinα-sin

1

2

α-cos

1

2

α

点评：本题给出函数f（x）的表达式，要求化简式子f（sin2α）-f（-sinα），着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式和三角函数的符号规律等知识，属于中档题．