Question

2．底面半径为4，高为$8\sqrt{2}$的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．
（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；
（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根据比例关系式求出h关于x的解析式即可；（2）设该正四棱柱的表面积为y，得到关系式y=2x²+4xh，根据二次函数的性质求出y的最大值即可．

解答 解：（1）根据相似性可得：$\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}}{4}=\frac{{8\sqrt{2}-h}}{{8\sqrt{2}}}$…（3分）
解得：$h=8\sqrt{2}-2x（0＜x＜4\sqrt{2}）$…（6分）（没范围扣1分）
（2）设该正四棱柱的表面积为y．则有关系式y=2x²+4xh
=$2{x^2}+4x（8\sqrt{2}-2x）$
=$-6{x^2}+32\sqrt{2}x$
=$-6{（x-\frac{8}{3}\sqrt{2}）^2}+\frac{256}{3}$…（9分）
因为$0＜x＜4\sqrt{2}$，所以当$x=\frac{8}{3}\sqrt{2}$时，${y_{max}}=\frac{256}{3}$…（11分）
故当正四棱柱的底面边长为$\frac{8}{3}\sqrt{2}$时，此正四棱柱的表面积最大值为$\frac{256}{3}$…（12分）

点评 本题考查了数形结合思想，考查二次函数的性质以及求函数的最值问题，是一道中档题．