Question

12．已知函数f（x）=（x³-6x²+3x+t）•e^x，t∈R．
（1）当t=1时，求函数y=f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若函数y=f（x）有三个不同的极值点，求t的取值范围；
（3）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，就是f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（2）求导函数，利用f（x）有三个极值点，可得f′（x）=0有三个根，构造新函数，确定其单调性，从而可得不等式，即可求t的取值范围；
（3）不等式f（x）≤x，即（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，即t≤xe^-x-x³+6x²-3x，转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立，构造新函数，确定单调性，计算相应函数值的正负，即可求正整数m的最大值．

解答 解：（1）∵t=1，f（x）=（x³-6x²+3x+1）•e^x，
∴f'（x）=（x³-3x²-9x+4）•e^x，
∴f'（0）=4；∵f（0）=1，即切点（0，1），
∴y=f（x）在x=0处的切线方程为：y=4x+1．
（2）f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵f（x）有三个极值点，∴x³-3x²-9x+t+3=0有三个根，
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，g′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，（-1，3）上递减，
∵g（x）有三个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（3）＜0}\end{array}\right.$，
∴-8＜t＜24；
（3）不等式f（x）≤x，即（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，
即t≤xe^-x-x³+6x²-3x．
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，
不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立．
即不等式2≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立；
设φ（x）=e^-x-x²+6x-3，则φ（x）=-g^-x-2x+6．
设r（x）=φ（x）=-g^-x-2x+6，则r′（x）=g^-x-2，
因为1≤x≤m，有r′（x）＜0．
故r（x）在区间[1，m]上是减函数，
又r（1）=4-e^-1＞0，r（2）=2-e^-2＞0，r（3）=-e^-3＜0
故存在x₀∈（2，3），使得r（x₀）=φ′（x₀）=0．
当1≤x＜x₀时，有φ′（x）＞0，当x＞x₀时，有φ′（x）＜0．
从而y=φ（x）在区间[1，x₀）上递增，在区间（x₀，+∞）上递减；
又φ（1）=e^-1+4＞0，φ（2）=e^-2+5＞0，φ（3）=e^-3+6＞0
φ（4）=e^-4+5＞0，φ（5）=e^-5+2＞0，φ（6）=e^-6-3＜0
所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，恒有φ（x）＜0；
故使命题成立的正整数m的最大值为5．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．