Question

f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，f（xy）=f（x）+f（y）
（1）证明：f（

x

y

）=f（x）-f（y）
（2）已知f（3）=1且f（a）＞f（a-1）+2，求a的范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由条件f（xy）=f（x）+f（y），即可得证；
（2）由于f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，求出f（9）=2，将f（a）＞f（a-1）+2，转化为f（a）＞f（9a-9），
运用函数的单调性即可求出a的范围，注意定义域的运用．

解答： （1）证明：∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（xy）-f（x）=f（y），即f（y）=f（xy）-f（x）对x，y＞0成立．
将y换成

m

n

，x换为n，则xy换为m，得到f（

m

n

）=f（m）-f（n），
∴f（

x

y

）=f（x）-f（y）成立．
（2）解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，
∴f（9）=2f（3）=2．
∵f（a）＞f（a-1）+2，
∴f（a）＞f（a-1）+f（9），即f（a）＞f（9a-9），
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴

a＞0 a-1＞0 a＞9a-9

∴1＜a＜

9

8

．
∴a的范围是（1，

9

8

）．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的单调性和运用，及解决抽象函数的方法：赋值法，属于中档题．