题目内容
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a＜-1，如果对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1≥x2，都有|f（x1）-f（x2）|≥4（x1-x2），求a的取值范围．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a＜-1，如果对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1≥x2，都有|f（x1）-f（x2）|≥4（x1-x2），求a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）f′（x）=
+2ax=
，当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=
，f（x）在（0，
）上单调递增，在（
，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）x1≥x2，而a＜-1，f（x）在（0，+∞）上单调递减，从而?x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于?x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1 ，由此能示出a的取值范围．
| a+1 |
| x |
| 2ax2+a+1 |
| x |
-
|
-
|
-
|
（Ⅱ）x1≥x2，而a＜-1，f（x）在（0，+∞）上单调递减，从而?x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于?x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1 ，由此能示出a的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）
f′（x）=
+2ax=
，
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=
，
则当x∈（0，
）时，f′（x）＞0，
x∈（
，+∞）时，f′（x）＜0
故f（x）在（0，
）上单调递增，在（
，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）∵x1≥x2，而a＜-1，
∴由（1）知f（x）在（0，+∞）上单调递减，
从而?x1，x2∈（0，+∞），
|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于?x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1 ①
令g（x）=f（x）+4x，则g′（x）=
+2ax+4
①等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减，
即
+2ax+4≤0在（0，+∞）上恒成立
从而a≤
=
=
-2≥-2．
故a的取值范围为（-∞，-2]．
f′（x）=
| a+1 |
| x |
| 2ax2+a+1 |
| x |
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=
-
|
则当x∈（0，
-
|
x∈（
-
|
故f（x）在（0，
-
|
-
|
（Ⅱ）∵x1≥x2，而a＜-1，
∴由（1）知f（x）在（0，+∞）上单调递减，
从而?x1，x2∈（0，+∞），
|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于?x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1 ①
令g（x）=f（x）+4x，则g′（x）=
| a+1 |
| x |
①等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减，
即
| a+1 |
| x |
从而a≤
| -4x-1 |
| 2x2+1 |
| (2x-1)2-4x2-2 |
| 2x2+1 |
| (2x-1)2 |
| 2x2+1 |
故a的取值范围为（-∞，-2]．
点评：本题考查函数的单调性的讨论，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
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