Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，其长轴长为2

2

，直线l₁：y=-1与C只有一个公共点A₁，直线l₂：y=1与C只有一个公共点A₂． 
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是l₁上（除A₁外）的动点，连结A₂P交椭圆于另外一点B，连结OP交椭圆于C，D两点（C在D的下方），直线A₁B，A₁C，A₁D分别交直线l₂于点E，F，G，若|EF|，|A₂F|，|GF|成等差数列，求点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据长轴长为2

2

，直线l₁：y=-1与C只有一个公共点A₁，直线l₂：y=1与C只有一个公共点A₂，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（t，-1），则直线A₂P的方程，求出B的坐标，再求出E的坐标，确定直线A₁C、A₂D的方程，令y=1，确定F，G的坐标，利用|EF|，|A₂F|，|GF|成等差数列，结合C在直线OP上，即可求出点P的坐标．

解答： 解：（I）由题意得：a=

2

，b=1，
∴椭圆方程为：

x2

2

+y2=1…（4分）
（II）设P（t，-1），则直线A₂P的方程为：y=-

2

t

x+1…（5分）
联立

y=- 2 t x+1 x2 2 +y2=1

消去y，得(

4

t2

+

1

2

)x2-

4

t

x=0…（7分）
解得B(

8t

8+t2

，

-8+t2

8+t2

)…（8分）
直线A₁B方程为y=

t

4

x-1，令y=1，得x=

8

t

，得E(

8

t

，1)…（9分）
又直线OP的方程为y=-

1

t

x
C，D关于O（0，0）中心对称，可设C（x₁，y₁），D（-x₁，-y₁），
直线A₁C、A₂D的方程分别为y=

y1+1

x1

x-1，y=

1-y1

-x1

x-1，
令y=1，得F(

2x1

y1+1

，1)，G(

-2x1

1-y1

，1)…11分
∴|EF|=

8

t

-

2x1

y1+1

，|A₂F|=-

2x1

y1+1

，|GF|=

-2x1

1-y1

-

2x1

y1+1

，…（12分）
∵|EF|，|A₂F|，|GF|成等差数列，
∴

8

t

-

2x1

y1+1

+

-2x1

1-y1

-

2x1

y1+1

=-

4x1

y1+1

，
化简得：

8

t

=

2x1

1-y1

…..①…（13分）
又C在直线OP上，所以y1=-

1

t

x1…..②
联立①、②解得x1=

4t

t2-4

，y1=

-4

t2-4

…（14分）
又C（x₁，y₁）在椭圆上，代入椭圆方程得

8t2

(t2-4)2

+

16

(t2-4)2

=1，解得：t=±4（15分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查椭圆的方程，考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，有难度．