Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，且椭圆C的短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P，M，N椭圆C上的三个动点．
（i）若直线MN过点D（0，-

1

2

），且P点是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值；
（ii）试探究：是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用离心率以及短轴长，求出椭圆中a、b、c．即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）（i）由已知，直线MN的斜率存在，设直线MN方程为y=kx-

1

2

，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，一弦长公式，推出面积S_△PMN的表达式，通过换元，利用导数求出面积的最大值．
（ii）假设存在△PMN是以O为中心的等边三角形．
（1）当P在y轴上时，推出与△PMN为等边三角形矛盾．
（2）当P在x轴上时，同理推出与△PMN为等边三角形矛盾．
（3）当P不在坐标轴时，设P（x₀，y₀），MN的中点为Q，则k_OP=

x0

y0

，通过O为△PMN的中心，则得到Q(-

x0

2

，-

y0

2

)．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），推出k_MN，说明k_OP•k_MN=

x0

y0

•（-

1

4

•

x0

y0

）=-

1

4

≠-1，因此OP与MN不垂直，与等边△PMN矛盾，得到不存在△PMN是以O为中心的等边三角形．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得

c a = 3 2 2b=2 a2=b2+c2

解得a=2，b=1，
所以椭圆方程为

x2

4

+y2=1．

（Ⅱ）（i）由已知，直线MN的斜率存在，
设直线MN方程为y=kx-

1

2

，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

x2 4 +y2=1 y=kx- 1 2

得（1+4k²）x²-4kx-3=0，
∴x₁+x₂=

4k

1+4k2

，x₁x₂=

-3

1+4k2

，
又|PD|=

3

2

．
所以S_△PMN=

1

2

|PD|•|x₁-x₂|=

3

4

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

4

16k2 (1+4k2)2 + 12 1+4k2

=

3 16k2+3

2(1+4k2)

．
令t=

16k2+3

，则t≥

3

，k²=

t2-3

16

所以S_△PMN=

3t

2(1+4• t2-3 16 )

=

6t

t2+1

=

6

t+ 1 t

，
令h（t）=t+

1

t

，t∈[

3

，+∞），则h′（t）=1-

1

t2

=

t2-1

t2

＞0，所以h（t）在[

3

，+∞），单调递增，
则t=

3

，即k=0时，h（t）的最小值，为h（

3

）=

4 3

3

，
所以△PMN面积的最大值为

3 3

2

．
（ii）假设存在△PMN是以O为中心的等边三角形．
（1）当P在y轴上时，P的坐标为（0，1），则M，N关于y轴对称，MN的中点Q在y轴上．
又O为△PMN的中心，所以

PO

=2

OQ

，可知Q（0，-

1

2

），M（-

3

，-

1

2

），N（

3

，-

1

2

）．
从而|MN|=2

3

，|PM|=

21

2

，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．
（2）当P在x轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．
（3）当P不在坐标轴时，设P（x₀，y₀），MN的中点为Q，则k_OP=

x0

y0

，
又O为△PMN的中心，则

PO

=2

OQ

，可知Q(-

x0

2

，-

y0

2

)．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=2x_Q=-x₀，y₁+y₂=2y_Q=-y₀，
又x₁²+4y₁²=4，x₂²+4y₂²=4，两式相减得k_MN=

y1-y2

x1-x2

=-

1

4

x1+x2

y1+y2

=-

1

4

•

x1+x2

y1+y2

=-

1

4

•

x0

y0

，
从而k_MN=-

1

4

•

x0

y0

．
所以k_OP•k_MN=

x0

y0

•（-

1

4

•

x0

y0

）=-

1

4

≠-1，
所以OP与MN不垂直，与等边△PMN矛盾．
综上所述，不存在△PMN是以O为中心的等边三角形．

点评：本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想