Question

对于定义域为D的函数y=f（x）和常数C，若对任意正实数ε，?x∈D，使得0＜|f（x）-C|＜ε恒成立，则称函数y=f（x）为“敛C函数”．现给出如下函数：
①f（x）=x（x∈Z）； 
②f（x）=（

1

3

）^x+1（x∈Z）；
③f（x）=log₃x； 
④f（x）=

x-1

x

．
其中为“敛1函数”的有（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、②④
• D、①②③

Answer 1

考点：对数函数的单调性与特殊点,函数的值域

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：由题意可得，“敛1函数”满足对任意正实数ε，?x∈D，使|f（x）-1|＜ε恒成立，即使得|f（x）-1|∈R⁺，对选项进行验证即可．

解答： 解：由题意可得，“敛1函数”满足对任意正实数ε，?x∈D，使|f（x）-1|＜ε恒成立，即使得|f（x）-1|∈R⁺，
①f（x）=x（x∈Z），则|f（x）-1|≥1，所以不满足“敛1函数”的定义； 
②f（x）=（

1

3

）^x+1，则|f（x）-1|=|（

1

3

）^x|∈R⁺，满足对任意正实数ε，?x∈D，使|f（x）-1|＜ε恒成立；
③f（x）=log₃x，则|f（x）-1|=|log₃x-1|≥0，所以不满足“敛1函数”的定义； 
④f（x）=

x-1

x

，则|f（x）-1|=|

1

x

|∈R⁺，满足对任意正实数ε，?x∈D，使|f（x）-1|＜ε恒成立．
故选：D．

点评：本题利用新定义，考查函数性质，解题的关键是正确理解“敛1函数”，利用使得|f（x）-1|∈R⁺进行验证．