Question

如图，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=

π

3

，分别以△ABD与△CBD为底面作相同的正三棱锥E-ABD与F-CBD，且∠AEB=

π

2

．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）作EO₁⊥面ABCD于O₁，作FO₂⊥面ABCD于O₂，证明O₁O₂∥EF，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面ABCD．
（2）取BD中点为O，联接EO，OF，得到BD⊥平面EOF，多面体ABCDEF的体积V_ABCDEF=V_E-ABD+V_F-CBD+V_B-EFD求解即可．

解答： 解：（1）作EO₁⊥面ABCD于O₁，作FO₂⊥面ABCD于O₂，
因E-ABD与F-CBD都是正三棱锥，
且O₁、O₂分别为△ABD与△CBD的中心，
∴EO₁∥FO₂，且
EO₁=FO₂=

6

3

．…（3分）
所以四边形EO₁O₂F是平行四边形，所以O₁O₂∥EF．…（4分）
又O₁O₂?面ABCD，EF?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．…（6分）
（2）又O₁O₂⊥DB，则BD⊥平面EO₁O₂F，故FO₂⊥DB．…（8分）
取BD中点为O，联接EO，OF即BD⊥平面EOF，
易算出VB=EFD=

1

3

S△EOF•|BD|=

1

3

×(

1

2

×

6

3

×

2 3

3

)×2=

2 2

9

 …（10分）
VE-ABD=VF-CBD=

1

3

×(

1

2

×

2

×

2

)×

2

=

2

3

            …（11分）
多面体ABCDEF的体积VABCDEF=VE-ABD+VF-CBD+VB-EFD=2×

2

3

+

2 2

9

=

8 2

9

       …（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，多面体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．