题目内容
已知f（x）=2cos
（
sin
+cos
）-1，x∈R．
（Ⅰ）求f（
）的值；
（Ⅱ）设α∈（0，
），β∈（
，
），f（α）=2，f（β）=
，求f（α+β）的值．
| x |
| 2 |
| 3 |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
（Ⅰ）求f（
| π |
| 3 |
（Ⅱ）设α∈（0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 8 |
| 5 |
考点：二倍角的正弦,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦
专题：计算题,三角函数的求值
分析：（1）利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根据第一问确定出的f（x）解析式，由f（α）=2，f（β）=
分别求出α的度数，sin（β+
）以及cos（β+
）的值，所求式子变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
（2）根据第一问确定出的f（x）解析式，由f（α）=2，f（β）=
| 8 |
| 5 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：
解：（1）f（x）=2
sin
cos
+2cos2
-1=
sinx+cosx=2sin（x+
），
∴f（
）=2；
（2）∵f（α）=2sin（α+
）=2，
即sin（α+
）=1，
∵
＜α+
＜
，
∴α+
=
，
即α=
，
∵f（β）=2sin（β+
）=
，
即sin（β+
）=
＜
，
∴
＜β+
＜
，cos（β+
）=
，
则f（α+β）=2sin（α+β+
）=2sin（
+β）=2cosβ=2cos[（β+
）-
]
=2cos（β+
）cos
+2sin（β+
）sin
=
．
| 3 |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴f（
| π |
| 3 |
（2）∵f（α）=2sin（α+
| π |
| 6 |
即sin（α+
| π |
| 6 |
∵
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴α+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
即α=
| π |
| 3 |
∵f（β）=2sin（β+
| π |
| 6 |
| 8 |
| 5 |
即sin（β+
| π |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| ||
| 2 |
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
则f（α+β）=2sin（α+β+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
=2cos（β+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
3
| ||
| 5 |
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．
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