Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=(

an+1

4

)2（a_n＞0），则数列{a_n}的通项a_n=（　　）

• A、2n-1
• B、3n²-2n
• C、4n+6
• D、5n²+7n

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系，利用a_n+1=S_n+1-S_n进行化简即可得到结论．

解答： 解：因为Sn═(

an+1

4

)2，
所以a_n+1=S_n+1-S_n=(

an+1+1

4

)2-(

an+1

4

)2，
整理得2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．
因为a_n＞0，所以a_n+1+a_n＞0，所以a_n+1-a_n-2=0，
即a_n+1-a_n=2．当n=1时，有a₁=S₁=(

a1+1

4

)2，
整理得a12-2a₁+1=0，解得a₁=1．
所以数列{a_n}是一个首项a₁=1，公差d=2的等差数列，其通项a_n=1+2（n-1）=2n-1．
答案：A

点评：本题主要考查数列的通项公式的计算，根据递推数列的关系，结合a_n+1=S_n+1-S_n是解决本题的关键．