题目内容

设非零向量向量
OA
=
a
，
OB
=
b
，已知|
a
|=2|
b
|，（
a
+
b
）⊥
b
．
（1）求
a
与
b
的夹角；
（2）在如图所示的直角坐标系xOy中，设B（1，0），已知
M（
1
2
，
5
3
6
），
OM
=λ1
a
+λ2
b
（λ1，λ2∈R），求λ1+λ2的值．
考点：平面向量数量积的运算,平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：（1）由（
a
+
b
）⊥
b
．可得
a
•
b
=-
b
2．又|
a
|=2|
b
|，利用向量夹角公式可得cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
||
b
|
．即可得出．
（2）利用向量的线性运算及其相等即可得出．
解答： 解：（1）∵（
a
+
b
）⊥
b
．
∴（
a
+
b
）•
b
=
a
•
b
+
b
2=0，
∴
a
•
b
=-
b
2．
又|
a
|=2|
b
|，
∴cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
-
b
2
2|
b
|2
=-
1
2
．
∴
a
与
b
的夹角为
2π
3
；
（2）由已知及（1）得A(-1，
3
)，
∵
OM
=λ1
a
+λ2
b
，
∴（
1
2
，
5
3
6
）=λ1(-1，
3
)+λ2（1，0）=(λ2-λ1，
3
λ1)，
∴
λ2-λ1=
1
2
3
λ1=
5
3
6
，
解得λ1=
5
6
，λ2=
8
6
．
∴λ1+λ2=
13
6
．
点评：本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
与
b
的夹角是120°，|
a
|=3，|
a
+
b
|=
13
，则|
b
|=
 
．
调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标w=x+y+z的值评定中年人的成就感等级：若w≥4，则成就感为一级；若2≤w≤3，则成就感为二级；若0≤w≤1，则成就感为三级．为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果：
人员编号A1A2A3A4A5
（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（0，1，1）（1，2，1）
人员编号A6A7A8A9A10
（x，y，z）（1，2，2）（1，1，1）（1，2，2）（1，0，0）（1，1，1）
（Ⅰ）若该群体有200人，试估计该群体中成就感等级为三级的人数是多少？
（Ⅱ）从成就感等级为一级的被采访者中随机抽取两人，这两人的综合指标w均为4的概率是多少？
设3，4，x是一个钝角三角形的三边长，且x是最大边，则x的取值范围是
 
．
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A（3，t）（t＞0）为抛物线C上一点，过点A的直线l交x轴的正半轴于点D，且△ADF为正三角形，则p=（　　）
A、2B、18
C、2或18D、4或36
设
a
•
b
=4，若
a
在
b
方向上的投影为
2
3
，且
b
在
a
方向上的投影为3，则
a
和
b
的夹角等于（　　）
A、
π
3
B、
π
6
C、
2π
3
D、
π
3
或
2π
3
cos
π
3
-tan
π
4
+
3
4
tan2
π
6
-sin
π
6
+cos2
π
6
．
已知向量
a
=（1，1），
b
=（2，n），若|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，则n=
 
．
已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b（b-
3
c）=（a-c）（a+c），且角B为钝角．
（1）求角A的大小；
（2）若a=
1
2
，求b-
3
c的取值范围．

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