Question

6．正三棱锥P-ABC中，（△ABC是正三角形，点P在平面ABC的射影是△ABC的中心）侧棱PA与底面ABC成60°角，若AB=2$\sqrt{3}$，则P到平面ABC的距离是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 三棱锥P-ABC的侧棱与底面ABC所成的角都是60°，利用底面正三角形的边长，转化求出棱锥的高即可．

解答 解：∵三棱锥O-ABC的侧棱与底面ABC所成的角都是60°，
∴P-ABC是正三棱锥．
过P作PG⊥平面ABC交于点G，延长AG交BC于D．
∵P-ABC是正三棱锥，
∴点G是△ABC的中心，
∴AD是等边△ABC的一条高，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}$=3，AG=$\frac{2}{3}×3$=2，
∵PG⊥平面ABC，
侧棱PA与底面ABC成60°角，∠PAG=60°．
∴PG=AGtan60°=2$\sqrt{3}$．
则P到平面ABC的距离是：2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三棱锥的高的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．