Question

15．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且AB=AC=$\frac{1}{2}$PA=1，点E是PD的中点．
（1）求PB与EC所成角的余弦值；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连BD交AC于点O，连EO，EC，说明PB与EC所成角就是∠CEO，利用余弦定理求解即可．
（2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角，在△EOF中求出此角．

解答 解：（1）连BD交AC于点O，连EO，EC，
则EO是△PDB的中位线，PB∥EO，
PB与EC所成角就是∠CEO，
AB=AC=$\frac{1}{2}$PA=1，可得AG=FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PA=2，EF=1，EC=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
OE=$\sqrt{1+（{\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，OC=1，
cos∠CEO=$\frac{\frac{5}{4}+\frac{6}{4}-1}{2×\frac{\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{7\sqrt{30}}{60}$．
（2）连BD交AC于点O，连EO，EC，
则EO是△PDB的中位线，
取AD的中点F，连EF，FO，
则EF是△PAD的中位线，
∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD
同理FO是△ADC的中位线，
∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角．
又FO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$PA=EF
∴∠EOF=45°，故所求二面角E-AC-D的大小为45°．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，异面直线所成角以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．