Question

14．设F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，O为坐标原点，若双曲线右支上存在一点P，使$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，且|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，则该双曲线的离心率为$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 由题意，P（c，2c），代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得e⁴-6e²+1=0，即可得出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，P（c，2c），
代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴e⁴-6e²+1=0
∴e=$\sqrt{2}$+1．
故答案为：$\sqrt{2}$+1．

点评 本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质等知识，考查学生的计算能力，属于中档题．