Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设T_n为数列{

an

2n

}的前n项和，求T_n；
（3）设b_n=

1

anan+1an+2

，证明：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜

1

32

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）在已知递推式中取n=n-1得另一递推式，两式作差后可得a_n+1-a_n=2（n≥2），验证a₂-a₁=2，说明数列{a_n}是等差数列，则通项公式可求；
（2）把（1）中求得的a_n代入{

an

2n

}，然后利用错位相减法求数列{

an

2n

}的前n项和T_n；
（3）把（1）中求得的a_n代入b_n=

1

anan+1an+2

，利用裂项相消法求数列{b_n}的前n项和，然后放缩证得不等式b₁+b₂+b₃+…+b_n＜

1

32

．

解答： （1）解：由na_n+1=S_n+n（n+1），得
（n-1）a_n=S_n-1+（n-1）n （n≥2），
两式相减得na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，即a_n+1-a_n=2（n≥2）．
由

a1=2 a2=S1+2 S1=a1

，得a₂-a₁=2．
∴对一切正整数n，有a_n+1-a_n=2，
故a_n=a₁+2（n-1）=2n，
即an=2n(n∈N*)；
（2）由（1），得

an

2n

=

2n

2n

=

n

2n-1

，
∴Tn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

 ①
①两边同乘以

1

2

，得

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

 ②
①-②，得

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

，
∴

1

2

Tn=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

，
故Tn=4-

n+2

2n-1

；
（3）由（1），得bn=

1

2n•2(n+1)•2(n+2)

=

1

16

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]，
∴b1+b2+b3+…+bn=

1

16

(

1

1×2

-

1

2×3

+

1

2×3

-

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

)
=

1

16

(

1

2

-

1

(n+1)(n+2)

)=

1

32

-

1

16(n+1)(n+2)

＜

1

32

．

点评：本题是数列与不等式的综合题，训练了利用数列的前n项和求通项公式，考查了利用裂项相消法求数列的和，体现了放缩法证明不等式的解题思想，是中高档题．