Question

14．如图，圆O是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B两点在⊙O上，A，B，C，D恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在A，B，C，D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路OA，OB，OC，OD．
（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；
（2）求铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）连接AB，求出正方形的面积，再求出弓形面积，作和得答案；
（2）过O作OK⊥CD，垂足为K，过O作OH⊥AD（或其延长线），垂足为H，设∠OAD=θ（0＜θ＜$\frac{π}{4}$），把OH，DH分别用含有θ的三角函数值表示，利用勾股定理求OD，再由辅助角公式求得最小值，则铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值可求．

解答 解：（1）连接AB，
∵AB=10，∴正方形ABCD的面积为100，
又OA=OB=10，∴△AOB为正三角形，则$∠AOB=\frac{π}{3}$，
而圆的面积为100π，∴扇形AOB得面积为$\frac{100π}{6}=\frac{50π}{3}$，
又三角形AOB的面积为$\frac{1}{2}×10×5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$．
∴弓形面积为$\frac{50π}{3}-25\sqrt{3}$，
则广场面积为100+$\frac{50π}{3}-25\sqrt{3}$（平方米）；
（2）过O作OK⊥CD，垂足为K，过O作OH⊥AD（或其延长线），垂足为H，
设∠OAD=θ（0＜θ＜$\frac{π}{4}$），
则OH=10sinθ，AH=10cosθ，
∴DH=|AD-AH|=|2OH-AH|=|20sinθ-10cosθ|，
∴OD=$\sqrt{100si{n}^{2}θ+（20sinθ-10cosθ）^{2}}$=$\sqrt{300-200\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）}$．
∴当θ=$\frac{π}{8}$时，$O{D}_{min}=10（\sqrt{2}-1）$．
∴铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值为$20\sqrt{2}$（米）．

点评 本题是应用题，考查简单的数学建模思想方法，考查圆在实际问题中的应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题．