Question

2．已知函数f（x）=（x-a）|x|存在反函数，则实数a=0．

Answer 1

分析 a＞0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥0}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，利用单调性即可判断出不存在反函数．
a=0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，可得函数f（x）在R上单调递增，因此存在反函数．
a＜0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥0}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，利用单调性即可判断出不存在反函数．

解答 解：a＞0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥0}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，
可得函数f（x）在$（0，\frac{a}{2}）$内单调递减，在（-∞，0），$（\frac{a}{2}，+∞）$上单调递增，因此不存在反函数．
a=0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，可得函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，因此存在反函数．
a＜0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥0}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，
可得函数f（x）在$（\frac{a}{2}，0）$内单调递减，在（-∞，$\frac{a}{2}$），（0，+∞）上单调递增，
因此不存在反函数．
综上可得：a=0．
故答案为：0．

点评 本题考查了反函数的定义及其判定、二次函数的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．