Question

如图，直三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱长为3，AB⊥BC，且AB=BC=3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF，
（Ⅰ）求证A′F⊥C′E；
（Ⅱ）当三棱锥B′-EBF的体积取得最大值时，求二面角B′-EF-B的正切值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）建立直角坐标系，利用向量法能证明A′F⊥C′E．
（Ⅱ）三棱椎B′-EBF的体积为V=m（3-m）≤

(m+3-m)2

4

，当m=

3

2

．即点E，F分别是棱AB，BC上的中点时，
三棱锥B′-EBF的体积取得最大值，利用向量法能求出此时二面角B′-EF-B的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）建立如图所示直角坐标系：
则A′（0，3，3），则BF=m，
C′（3，0，3），E（0，3-m，0），F（m，0，0），…（2分）
∴

A′F

•

C′E

=0，∴A′F⊥C′E．…（5分）
（Ⅱ）三棱椎B′-EBF的体积为：
V=m（3-m）≤

(m+3-m)2

4

．…（7分）
所以当m=

3

2

．即点E，F分别是棱AB，BC上的中点时，
三棱锥B′-EBF的体积取得最大值，
此时E（0，

3

2

，0），F（

3

2

，0，0），B′（0，0，3），

B′E

=(0，

3

2

，-3)，

B′F

=（

3

2

，0，-3），
设平面B′EF的法向量

n

=(x，y，z)，
则

B′E • n = 3 2 y-3z=0 B′F • n = 3 2 x-3z=0

，
取x=2，得

n

=(2，2，1)，
又平面BEF的法向量

m

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

3

…（9分）
设二面角B′-EF-B的平面角为θ，
则cosθ=

1

3

，tanθ=2

2

，
故此时二面角B′-EF-B的正切值为2

2

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．