Question

13．已知曲线C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+cost}\\{y=1+sint}\end{array}$（t为参数），C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\end{array}$（s为参数）．
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）曲线C₂交曲线C₁于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+cost}\\{y=1+sint}\end{array}$（t为参数），利用平方关系可得曲线C₁化为普通方程；C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\end{array}$（s为参数），消去参数化为普通方程，进而得到曲线形状．
（2）将直线C₂的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\end{array}（s为参数）}\right.$代入曲线C₁直角坐标方程中，可得${s^2}-3\sqrt{2}s+4=0$，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+cost}\\{y=1+sint}\end{array}$（t为参数），
利用平方关系可得：曲线C₁化为普通方程是（x+2）²+（y-1）²=1，
曲线C₁是圆心为（-2，1），半径为1的圆；
C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\end{array}$（s为参数），
消去参数化为普通方程：y=x+4，
曲线C₂是斜率为1，在y轴上截距为4的直线．
（2）将直线C₂的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s}\end{array}（s为参数）}\right.$代入曲线${C_1}：{（x+2）^2}+{（y-1）^2}=1$中，
得${s^2}-3\sqrt{2}s+4=0$，
设A，B对应参数分别为s₁，s₂，
则${s_1}+{s_2}=3\sqrt{2}，{s_1}{s_2}=4$，
∴$|{AB}|=|{{s_1}-{s_2}}|=\sqrt{{{（{s_1}+{s_2}）}^2}-4{s_1}{s_2}}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与曲线相交弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．