Question

如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．
（1）求证：ED²=EC•EB
（2）若BC是△ABC的外接圆的直径，且BC=2，CE=1．求AC长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）由弦切角定理，结合三角形的外角证出∠ADE=∠DAE，从而EA=ED．再由切割线定理，得EA²=EC•EB，结合EA=ED，即可证出ED²=EC•EB；
（2）利用△EAC∽△EBA，可得

EA

EB

=

AC

BA

=

EC

EA

，代入数据，即可得出结论．

解答： （1）证明：∵AE是圆的切线，∴∠ABC=∠CAE．
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，
从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD．
∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAD+∠CAE，
∴∠ADE=∠DAE，得EA=ED．
∵AE是圆的切线，∴由切割线定理，得EA²=EC•EB．
结合EA=ED，得ED²=EC•EB；
（2）解：∵AE是圆的切线，∴∠ABC=∠CAE，
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△EBA，
∴

EA

EB

=

AC

BA

=

EC

EA

，
∵BC=2，CE=1，
∴EA=

3

，

AC

BA

=

1

3

，
∵BC是△ABC的外接圆的直径，且BC=2，
∴AC=1．

点评：本题主要考查三角形与圆的一些基础知识，如三角形的外接圆、角平分线，圆的切线性质、圆幂定理等．本题属基础题．