Question

在平面直角坐标系中，动点P到x轴的距离的平方恰比点P的横纵坐标的乘积小1．记动点P的轨迹为C，下列对于曲线C的描述正确的是

 

①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线y=x对称；
③当变量|y|逐渐增大时，曲线C无限接近直线y=x；
④当变量|y|逐渐减小时，曲线C与x轴无限接近．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（x，y），由题意可得：y²=xy-1，可得曲线C．
①把（-x，-y）代入曲线C得到y²=xy-1，曲线方程不变，即可得出对称性；
②把点（y，x）代入曲线C：得到曲线x²=xy-1，即可判断出曲线C关于直线y=x不对称；
③把曲线C的方程变为：

x

y

-

1

y2

=1，当变量|y|逐渐增大时，

1

y2

→0，

x

y

→1，可得曲线C无限接近直线y=x；
④曲线C的方程变为x=y+

1

y

，当变量|y|逐渐减小时，x→∞，可得曲线C与x轴无限接近．

解答： 解：设P（x，y），由题意可得：y²=xy-1，可得曲线C．
①把（-x，-y）代入曲线C得到y²=xy-1，曲线方程不变，因此曲线C关于原点对称，正确；
②把点（y，x）代入曲线C：得到曲线x²=xy-1，可得曲线C关于直线y=x不对称，不正确；
③把曲线C的方程变为：

x

y

-

1

y2

=1，当变量|y|逐渐增大时，

1

y2

→0，

x

y

→1，因此曲线C无限接近直线y=x，正确；
④曲线C的方程变为x=y+

1

y

，当变量|y|逐渐减小时，x→∞，因此曲线C与x轴无限接近，正确．
综上可得：对于曲线C的描述正确的是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了曲线的轨迹及其性质，考查了推理能力，属于中档题．