题目内容
过球O表面上一点A，引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，求弦AB的长度．
考点：球内接多面体
专题：计算题,空间位置关系与距离
分析：可设棱长为x、列出方程求解．关键就是确定出球心的位置．
解答：
解：如图，在正四面体ABCD中、作AO1⊥底面BCD于O1，则O1为△BCD的中心．
∵OA=OB=OC=OD=R，∴球心O在底面的射影也是O1，于是A、O、O1三点共线．
设正四面体ABCD的棱长为x，
则AB=x，BO1=
x，AO1=
x，
∵OO1=
，
又OO1=AO1-AO=
x-R，
由此解得x=
R，故正四面体ABCD的棱长，即弦AB的长度为
R．
∵OA=OB=OC=OD=R，∴球心O在底面的射影也是O1，于是A、O、O1三点共线．
设正四面体ABCD的棱长为x，
则AB=x，BO1=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∵OO1=
R2-
|
又OO1=AO1-AO=
| ||
| 3 |
由此解得x=
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
点评：①一个多面体的所有顶点在一个球面上，则称这个多面体内接于一个球，这个球也叫做多面体的外接球；②有关外接球的问题常常利用它的轴截面来解决．
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