Question

已知an=

1

2n

cos

nπ

2

，则无穷数列{a_n}前n项和的极限为

 

．

Answer 1

考点：数列的极限

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：n求出a₁；a₂；a₃，a₄，a5，…，可得n为偶数时，a_n=0；n为奇数时的a_n．可得其极限．

解答： 解：n=1时，a₁=0，n=2时，a₂=-

1

4

；n=3时，a₃=0，n=4时，a₄=

1

24

；n=5时，a5=0，…，
可得n为奇数时，a_n=0；n为偶数时，an=(-1)

n

2

1

2n

．
利用无穷等比数列数列前n项和的极限为：

a2

1-q

（q为等比数列{a_n}的公比，0＜|q|＜1，或q=-1）．
∴无穷数列{

1

2n

cos

nπ

2

}前n项和的极限=

a2

1-q

=

- 1 4

1+ 1 4

=-

1

5

．
故答案为：-

1

5

．

点评：本题考查了三角函数的周期性、无穷等比数列的}前n项和的极限，考查了推理能力与计算能力，属于中档题