Question

设函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-2）=-1，当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，给出下列命题：
①f（2012）=-1；
②x=-6是y=f（x）图象的一条对称轴；
③y=f（x）在[-9，-6]上是增函数；
④函数y=f（x）在[-9，9]上有4个零点．
正确命题的序号是（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、①②③④
• D、①②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：由已知求出函数的周期为6，结合f（-2）=-1可求得f（2012）=-1；
由-12为周期及函数为偶函数求得直线x=-6是函数y=f（x）图象的一条对称轴；
由函数在[0，3]上为增函数及x=-6是函数y=f（x）图象的一条对称轴可得y=f（x）在[-9，-6]上为减函数；
由函数的增减性、对称性、奇偶性、周期及f（3）=0可得方程f（x）=0在[-9，9]上有4个根．

解答： 解：由函数f（x）为偶函数可得，f（-3）=f（3），
∵f（x+6）=f（x）+f（3），
令x=-3可得，f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），
∴f（3）=0，
∴f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x），即f（x+6）=f（x）．
又f（-2）=-1．
①f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=f（-2）=-1，
∴f（2012）=-1，①正确；
②由（x+6）=f（x），可知6为函数的周期，则-12为函数的周期，
∴f（-12+x）=f（x）=f（-x），则x=

-12+x-x

2

=-6为函数的对称轴，②正确；
③由x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，0可知函数在[0，3]上为增函数，
则函数在[-6，-3]上为增函数，又x=-6为对称轴，则在[-9，-6]上为减函数，③正确；
④∵f（3）=0，
∴f（-3）=0，f（9）=f（6+3）=0，f（-9）=0，结合函数的周期为6及函数的增减性可得方程f（x）=0在[-9，9]上仅有4个根，④正确．
故正确命题为：①②④．
故选：D

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，训练了函数的单调性、奇偶性、周期性的用法，是中档题．