Question

某市为充实干部队伍组织了一场面向全市的年轻干部招考，考试分为2部分，第一部分为笔试，第二部分为面试，笔试为在试题库中任选4题作答，若答对3题，再从面试的3个项目中任选2项进行测试，若2项面试都通过，则成功进入后备干部人才库；其他情况下，直接淘汰，若笔试中媒体答对的概率是

1

2

，面试中每项能通过的概率是

2

3

，且各次答题、面试都相互独立．
（Ⅰ）求某名考生能成功进入后备干部人才库的概率；
（Ⅱ）若笔试中每题答对10分，答错0分，面试中每项测试通过10分，不通过0分，求某名考生此次考试所得分数的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设A表示“答对试题”，B₁表示“第一项面试通过”，B₂表示“第二项面试通过”，由P=[P₄（3）+P₄（4）]P（B₁）P（B₂），能求出某名考生能成功进入后备干部人才库的概率．
（Ⅱ）某名考生此次考试所得分数X的可能取值为0，10，20，30，40，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出某名考生此次考试所得分数的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）设A表示“答对试题”，B₁表示“第一项面试通过”，B₂表示“第二项面试通过”，
某名考生能成功进入后备干部人才库的概率：
P=[P₄（3）+P₄（4）]P（B₁）P（B₂）
=[

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)+

C

4 4

(

1

2

)4]×

2

3

×

2

3

=

5

36

．
（Ⅱ）某名考生此次考试所得分数X的可能取值为0，10，20，30，40，50，60，
P（X=0）=

C

0 4

(

1

2

)4=

1

16

，
P（X=10）=

C

1 4

(

1

2

)(

1

2

)3=

1

4

，
P（X=20）=

C

2 4

(

1

2

)2(

1

2

)2=

3

8

，
P（X=30）=

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)P(

.

B1

)=

1

4

×

1

3

=

1

12

，
P（X=40）=

C

4 4

(

1

2

)4P（

.

B1

）+

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)P(B1)P(

.

B2

)
=

1

16

×

1

3

+

1

4

×

2

3

×

1

3

=

11

144

，
P（X=50）=

C

4 4

(

1

2

)4P(B1)P(

.

B2

)+

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)P(B1)P(B2)
=

1

16

×

2

3

×

1

3

+

1

4

×

2

3

×

2

3

=

1

8

，
P（X=60）=

C

4 4

(

1

2

)4P(B1)P(B2)=

1

16

×

2

3

×

2

3

=

1

36

，
∴某名考生此次考试所得分数X的分布列为：

X	0	10	20	30	40	50	60
P	1 16	1 4	3 8	1 12	11 144	1 8	1 36

数学期望EX=0×

1

16

+10×

1

4

+20×

3

8

+30×

1

12

+40×

11

144

+50×

1

8

+60×

1

36

=

155

9

．

点评：本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，是中档题．