Question

为统计某校学生数学学业水平测试成绩，现抽出40名学生成绩，得到样本频率分布直方图，如图所示，规定不低于60分为及格，不低于85分为优秀．

（1）估计总体的及格率；
（2）求样本中优秀人数；
（3）若从样本中优秀的学生里抽出2人，求这两人至少有一人数学成绩不低于90分的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（1）由题意分析直方图，结合频率=矩形的高×组距，累加不低于60分段的频率，进而可得答案．
（2）由题意分析直方图，结合频率=矩形的高×组距，累加不低于85分段的频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到优秀人数；
（3）分别求出从样本中优秀的学生里抽出2人的基本事件总数和这两人至少有一人数学成绩不低于90分的基本事件个数，代入古典概型的概率计算公式，可得答案．

解答： 解：（1）由题意分析直方图，
可得不低于60分段的频率为：10×[1-（0.005+0.015）]=0.8，
故及格率为80%------------（2分）
（2）由题意分析直方图，
可得不低于85分段的频率为：10×（

1

2

×0.01+0.01）=0.15，
故优秀率为15%，
故优秀人数40×15%=6人--------------（4分）
（3）由（2）可得样本中优秀的学生中，85分-90分有2人，设为b₁、b₂；
90分-100分有4人，设为c₁、c₂、c₃、c₄，------------（6分）
那么一次试验的全部结果为：
b₁b₂，b₁c₁，b₁c₂，b₁c₃，b₁c₄，b₂c₁，
b₂c₂，b₂c₃，b₂c₄，b₂c₁，c₁c₃，c₁c₄，
c₂c₃，c₂c₄，c₃c₄共15个结果，--------------------（8分）
其中这两人至少有一人数学成绩不低于90分的结果有：
b₁c₁，b₁c₂，b₁c₃，b₁c₄，b₂c₁，
b₂c₂，b₂c₃，b₂c₄，b₂c₁，c₁c₃，c₁c₄，
c₂c₃，c₂c₄，c₃c₄共14个结果
故这两人至少有一人数学成绩不低于90分的概率p=

14

15

-----------（10分）

点评：本题考查古典概型的计算，涉及列举法的应用，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．