Question

16．设函数f（x）=4^x+a•2^x+b，
（1）若f（0）=1，f（-1）=-$\frac{5}{4}$，求f（x）的解析式；
（2）由（1）当0≤x≤2时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据f（0）=1，f（-1）=-$\frac{5}{4}$，带入f（x）=4^x+a•2^x+b，求解a，b即可得f（x）的解析式．
（2）利用换元法，转化为二次函数，根据单调性求解值域．

解答 解：（1）函数f（x）=4^x+a•2^x+b，
∵f（0）=1，f（-1）=-$\frac{5}{4}$，
则有$\left\{\begin{array}{l}{1+2a+b=1}\\{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}a+b=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得：a=3，b=-3．
故得f（x）的解析式为：f（x）=4^x+3•2^x-3．
（2）由（1）可知f（x）=4^x+3•2^x-3，
设t=2^x，
∵0≤x≤2，
∴1≤t≤4
函数f（x）转化为：y=t²+3t-3，（1≤t≤4），
函数y开口向上，对称轴t=-$\frac{3}{2}$
易知函数t∈[1，4]上递增，
故当t=1时，有最小值为1；当t=4时，有最大值为25．
故得当0≤x≤2时，函数f（x）的值域为[1，25]．

点评 本题考查了解析式的求法和转化思想，利用二次函数的单调性求解值域问题．属于基础题．